Método de eliminación por sustitución.

Para resolver un sistema de ecuación lineal dos por dos mediante el método de sustitución se despeja una de las incognitas en una de las ecuaciones (preferiblemente la de valores enteros positivos pequeños) y se sutituye el valor encontrado en la otra ecuación, para luego resolver la ecuación resultante.

Su desarrollo para el caso de situaciones (problema de palabras) se resume en los pasos siguientes:

     \(1.~~\)Nombrar variables.
     \(2.~~\)Partiendo de los datos escribir ecuaciones.
     \(3.~~\)Simplificar (si es posible) y nombrar ecuaciones.
   \(~~4.~\) Despejar una variable en una ecuación y sustituir su valor en la otra.
    \(~5.~~\)Resolver la ecuación encontrada.
    \(6.~~\)Sustituir el valor de la variable encontrada en la ecuación del paso cuatro y resolver para determinar el valor de la otra variable.

En el caso de que se no tenga una situación problemática se debe iniciar en el paso tres. A continuación se presentan algunos ejemplos resueltos mediante este método.

Ejemplo 1. Entradas de teatro. En cierto día en un teatro asisten 280 personas. El teatro vende dos tipos de entradas, la normal que se vende a \($300\) y la de premium que vende a \($500\). Si por concepto de entradas se recaudó \($104~000.\) Determinar cuántas boletas de cada tipo se vendieron en ese día.

1. Nombrar variables: Sea \(n\) la cantidad de boletas normales y sea \(p\) la cantidad de boletas premium.
2. Partiendo de los datos del ejercicio escribir ecuaciones.
$$\left\{\begin{array}{l}n+p=280\\300n+500p=104 000\end{array}\right.$$ 3. Simplificar (si es posible) y nombrar ecuaciones.
$$\left\{\begin{array}1n+p=280\\300n+500p=104 000\end{array}\Longrightarrow \left\{ \begin{array}{l}n+p=280~~~~~~~~~~~~\boxed{\textcolor{blue}{1}}\\3n+5p=1040~~~~~~ \boxed{\textcolor{blue}{2}} \end{array}\right.\right.$$ 4. Despejar y sustituir (despejar una variable en una ecuación y sustituir en la otra). Despejando \(n\) en \(\boxed{\textcolor{blue}{1}}\): \(n=280-p\)
Sustituyendo \(n=280-p\) en \(\boxed{\textcolor{blue}{2}}:\) \(3(280-p)+5p=1040\)
5. Resolver la ecuación encontrada:
\begin{align} 3(280-p)+5p&=1040~~~~~~~~~\mathrm{Ecuación~ encontrada}\\ 840-3p+5p&=1040~~~~~~~~~\mathrm{Multiplicando}~ 3(280-p)\\ 840+2p&=1040~~~~~~~~~ \mathrm{Simplificando.}\\ 2p=104&0-840~~~~~~~~~\mathrm{Trasposición~ de~ términos.}\\ 2p&=200~~~~~~~~~~~\mathrm{Simplificando.}\\ p&=100~~~~~~~~~~~\mathrm{Dividiendo ~por~ 2~ ambos~ miembros.}\\ \end{align} Para hallar \(n\) se tiene que \(n=280-p\) de donde \(n=280-100\Longrightarrow n=180\) por tanto, se vendieron \(180\) entradas normales y \(100\) premium.

Ejemplo 2. Trabajando en la granja. Un ganadero compró cuatro ovejas y siete cabras por \($51 400\). Un mes más tarde, a los mismos precios, compró ocho ovejas y nueve cabras por \($81 800.\) Determinar el precio de cada oveja y de cada cabra.

Solución: sea \(x\) el precio de una oveja. Sea \(y\) el precio de una cabra, de los datos se tiene:

$$\left\{\begin{array}a4x+7y=51400~~~~~\boxed{\textcolor{blue}{1}}\\8x+9y=81 800~~~~~\boxed{\textcolor{blue}{2}}\end{array}\Longrightarrow \mathrm{despejando}~ x~ \mathrm{en}~~\boxed{\textcolor{blue}{1}}~\mathrm{se~ tiene}~~x=\frac{51400-7y}{4}\right.$$ $$\mathrm{Sustituyendo}~~ x=\frac{51400-7y}{4} ~~en  ~~~\boxed{\textcolor{blue}{2}} \Longrightarrow 8\left(\frac{51400-7y}{4}\right)+9y=81 800$$ Resolviendo la ecuación encontrada: \begin{align} 2(51 400-7y)+9y&=81 800 ~~~~~~~\mathrm{Por~ ser}~ 8÷4=2\\ 102 800-14y+9y&=81 800~~~~~~~\mathrm{Multiplicando.}\\ 102 800-5y&=81 800~~~~~~~\mathrm{Simplificando.}\\ -5y&=81 800-102 800~~~~~~~\mathrm{Trasposición~ de~ término.}\\ -5y&=-21 000~~~~\mathrm{Simplificando.}\\ y&=\frac{-21000}{-5}~~~\mathrm{Dividiendo~ambos~ miembros~ por}~ -5\\ y&=4200~~~~~~~~~~\mathrm{Realizando ~la ~división.}\\ \end{align} Para determinar \(x\) se tiene que:
$$x=\frac{51 400-7y}{4} \Longrightarrow x=\frac{51 400-29 400}{4} ⟹ x=\frac{22000}{4}=5500$$ Por tanto, cada oveja costó \($5 500\) y cada cabra \($4 200\).

Ejemplo 3. Contando monedas. Una persona tiene \($3 950\) en monedadas de \($25\) y de \($10\). Si tiene un total de \(200\) monedas. ¿Cuántas monedas de cada tipo tiene?

Solución: sea \(v\) la cantidad de monedas de \($25.\) y sea \(d\) la cantidad de monedas de \($10\) de los datos se tiene:
$$\left\{\begin{array}1v+d=200~~~~~~~~~~~~~\boxed{\textcolor{blue}{1}}\\25v+10d=3 950~~~\boxed{\textcolor{blue}{2}}\end{array} \Longrightarrow \mathrm{despejando}~~ v~~en~~~\boxed{\textcolor{blue}{1}}~~v=200-d\right.$$ Sustituyendo \(~v=200-d ~en~~~\boxed{\textcolor{blue}{2}}~~~25(200-d)+10d=3 950.\)
Resolviendo esta ecuación: \begin{align} 25(200-d)+10d&=3 950~~~ \mathrm{Ecuación~ encontrada.}\\ 5 000-25d+10d&=3 950 ~~~\mathrm{Multiplicando~25(200-y)}\\ 5 000-15d&=3 950 ~~~\mathrm{Simplificando.}\\ -15d&=3 950-5 000 ~~~\mathrm{Trasposición~ de~ término.}\\ -15d&=-1 050 ~~~\mathrm{Simplificando.}\\ d&=\frac{-1 050}{-15}~~~\mathrm{Dividiendo~ ambos~ miembros~ por}~ -15\\ d&=70 ~~~~~~~~~ \mathrm{Realizando~la~división.}\\ \end{align} Dado que \(v=200-d\) se tiene \(v=200-70 ⟹v=130\) y por tanto, hay \(130\) monedas de \($25\) y \(70\) de \($10.\)

Ejemplo 4. Juego de números. El cociente de dos números es 4 y su diferencia es 39. Determinar los números.
Solución: sean \(n\) y \(d\) los números buscados, de los datos del ejercicio se tienen las ecuaciones. $$\left\{\begin{array}1\frac{n}{d}=4\\n-d=39\end{array}\Longrightarrow \left\{\begin{array}1n=4d~~~~~~~~~\boxed{\textcolor{blue}{1}}\\n-d=39~~~\boxed{\textcolor{blue}{2}}\end{array}\right.\right.$$ Sustituyendo \(n=4d\) en \(\boxed{\textcolor{blue}{2}}:\)
\(4d-d=39 ⟺  3d=39\therefore d=39/3=13\)
Como \(n=4d\) entonces \(n=4(13)=52\).